Форум

[Rasty]

Кто-то меня обвинял в том, что это нихуя не фрактал. Были даже претензии на тему: "это у тебя вообще тут алиасинг"

Короч, берем наш фрактал, бинарную его форму:



Берем верхнюю строку пикселей. Там, фактически, находится вся информация о фрактале и по этой строке можно восстановить паттерн. Берем:



Тут очевидно, что каждый 2*n пиксель - это инвертированный 2*n+1 пиксель. Можно их смело выбросить. Первый пиксель тоже не нужен - он всегда одинаковый:



Получили двоичную последовательность (101001011010010110101101001011010010100... - для числе Фибоначчи). Эта последовательность показывает, с какой стороны прилетел луч... ну или чисто если математическую терминологию использовать - бильярдный шар. Сча по-другому сформулирую. Короч, есть у нас бильярд в прямоугольнике, со сторонами N*M. Скажем в этом прямоугольнике двигается и отражается (по законам оптики) шар, у которого есть некоторое внутреннее состояния. Состояние это меняется на 1, если шар отражается от правой стенки и на 0 - если шар отражается от левой стенки. Когда шар касается верхней стенки - фиксируем положение шара и его состояние. Получим эту последовательность.



Есть, как минимум, 4 способа получить эту же последовательность:
1. Вышеописанный math-бильярд в прямоугольнике.
2. Одномерный бильярд. Ваще злой способ. Для каждого i (= 0, 1, 2, 3, ...), если целая часть от (2*i*N)/M четная - берем остаток от деления (2*i*N)/M. Получившиеся остатки делим на 2. Эти самые числа показывают позиции где шар прилетел слева. Ноликами их заполняем. Оставшиеся позиции - шар прилетел справа и заполняем их единицами. Вот там тупо остатки от деления и хуяк - фрактал.
3. Комбинаторный способ. Пока разобрался только, как эту последовательность строить для чисел Фибоначчи. Берем двоичную последовательность для чисел F(n) и F(n-1). Берем в этой последовательности последние (F(n-1))/2 бит (с учетом четности/нечетности F(n) захватываем последний бит или не захватываем). Переставляем биты в обратном порядке. Инвертируем биты. Дописываем к последовательности. Получили последовательность для чисел F(n+1) и F(n). Можно, фактически, с одного бита восстановить всю последовательность для достаточно больших чисел Фибоначчи.
4. Ну и тригонометрический способ. Это, бля, вообще аxуй. Те же деления по модулю и остатки, только в другой интерпретации. Есть окружность, с радиусом =1. Делим окружность на N*2 частей (рисуем точки на окружности). Далее, двигаясь по окружности, отмечаем каждую M*2*i точку (для i=1, 2, 3, ...). Если синус этой точки меньше нуля - отмечаем 1, если больше - отмечаем 0. Где отмечаем? На оси x, чисто координату через косинус. Единички и нолики будут чередоваться с той же последовательностью (101001011010010110101101001011010010100... - для числе Фибоначчи). Вот тут для примера N=89 и M=55 (внизу картинки выровнял эти точки через арккосинус):



Охуенность такого способа в том, что через тригонометрию можно попробовать получить двоичную последовательность для бильярда N х 2*Pi (иррациональное число, мать его еб) и через эту последовательность восстановить паттерн. Правда задача не совсем тривиальная. Для рациональных N и M получаем конечную двоичную последовательность. Если же N и M несоизмеримы - последовательность получается бесконечной. Сложность же состоит в том, что последовательность заполняется не по порядку, а хаотично. Но тут есть один очень любопытный момент. Есть еще пятый способ получить двоичную последовательность - конкретно для чисел Фибоначчи, существует способ заполнить эту последовательность по порядку.
Чисто случайно заметил, когда программировал одномерный бильярд. Мы там брали (2*i*N)/M, проверяли его на четность. Если четное - берем остаток от деления (2*i*N)/M. И вот тут у чисел Фибоначчи проявляется интересное свойство. Для этих чисел не надо брать остаток от деления. Бля. Берем (2*i*N)/M, если четное - записываем 0, если не четное - 1. Пример:
1*(2*55)/89=1.23595505618, целая часть - нечетная.
2*(2*55)/89=2.47191011236, целая часть - четная.
3*(2*55)/89=3.70786516854, целая часть - нечетная.
4*(2*55)/89=4.94382022472, целая часть - четная.
5*(2*55)/89=6.1797752809, целая часть - четная.
6*(2*55)/89=7.41573033708, целая часть - нечетная.
...
55/89 - примерно равно 1/Phi (Phi - золотое сечение). Чем больше числа Фибоначчи - тем точнее это равенство. Формулу (2*i*N)/M можно переписать как i*2/Phi. Отбрасываем остаток, проверяем четность целой части для каждого i. Получаем фрактальную двоичную последовательность... заполненную по порядку.

Сейчас покажу, как это выглядит геометрически, на бильярде в прямоугольнике со сторонами равными числам Фибоначчи. Для примера возьмем два числа 21 и 13. Зафиксируем, с какой стороны прилетел шар и номер отражения от верхней стенки (первое отражение, второе и т.д.):



А терь, черная магия наxуй! Расставим эти числа по порядку:



Такое свойство нашел пока только у чисел Фибоначчи.

Ну и возвращаясь к фрактальности этой самой двоичной последовательности. Опять же, для примера возьмем два достаточно больших числа Фибоначчи. F(29) и F(28). Заебошим двоичную последовательность (через остатки или через четность целой части - результат одинаковый):



Далее рисуем отрезок. Каждый следующий отрезок - поворот предыдущего отрезка на 60° - если бит в последовательности = 1 или на -60° - если бит = 0. (Этот способ называется Turtle graphics):



Пробежались по всей последовательности... Бле, и кто теперь скажет, что это не фрактал:



Если сильно заморочиться - можно и Хаусдорфову размерность тут насчитать (только я че-т дико туплю на эту тему).

Можно взять два других числа Фибоначчи, которые не стоят рядом. Например F(29)=514229 и F(26)=121393. Тоже построили последовательность. Далее через Turtle graphics, но уже с углами не 60°, а 90°:



Тоже нихуя не фрактал, ага

Ну и чисто скриптец, чтобы повертеть последовательности с помощью Turtle graphics http://xcont.com/turtle/



Полноценную, более подробную статеечку чуть попожже выкачу на хабру.

[Rasty]

[Slav]

Чем ты рисуешь все это?

[Rasty]

[Rasty]

Корень из двух. Углы 60 и 180:

[Rasty]

[Rasty]

Ух бля, чистый хаос:

[Rasty]

Та же хуита, только не через квадратный корень, а через логарифм:

[123]

маргаритки получаются... а если штук 10 углов сделать? или 360 углов углов?

[Rasty]

Их потом не подобрать, чтобы четкий паттерн получился.

[matroskin]

_________________
Ось чому, в лихі години, ми затяті й вперті, бо для вільної людини рабство гірше смерті. (Т.Г. Шевченко)

[123]

а если автоматически сделать, а потом через нейронку прогнать - там где что-то получается оставить? а потом найти общее - и проникнуть в тайну мироздания!

[123]

и кстати не хаос, вон там полосы, и слева кудряшки, если б был хаос - были бы просто пиксели черные и белые равномерно, хотя я не специалист

[Rasty]

[.]

Бля, я никогда эпилепсией не страдал, но последние картинки натурально выжигают глаза
_________________
я ізвіняюсь, але шо це за криса у нас у менеджерах сайту?